Na bokach prostokąta o obwodzie 100 cm dorysowano trójkąty równoboczne. Jakie powinny być

... długości boków prostokąta, aby pole otrzymanej figury było najmniejsze

Rozwiązanie

X, y to boki prostokąta
2x+2y=100
x+y=50
x=50-y
P=xy+2x²√3/4+2y²√3/4
P=xy+x²√3/2+y²√3/2
P(y)=(50-y)y+(50-y)²√3/2+y²√3/2
P(y)=50y-y²+2500√3/2-100y√3/2+y²√3/2+y²√3/2, y∈(0,50)
P(y)=-y²+y²√3-50y√3+50y+1250√3
Ramiona paraboli idą w górę ( bo √3-1>0)
więc mamy min, dla p=-b/2a
p=-(-50√3+50)/2(√3-1)
p=50(√3-1)/2(√3-1)
p=25
czyli y=25
x=25
i wtedy pole figury jest najmniejsze
Potrzebny wzor na pole trojkata rownobocznego P=1/4a²√3
DANE
2x+2y=100
OBL x, y aby P=Pmin
P=xy+1/2(x²+y²)√3
2x+2y=100→x+y=50→y=50-x
Podstawiam
P=50x-x²+1/2(x²+2500-100x+x²)√3
P=x²(-1+√3)+x(50-50√3)+1250√3
p(x)=(-1+√3)x²+50(1-√3)x+1250√3
Funkcja kwadratowa posiada minimum bo (-1+√3)>0
dla x=-b/2a
x=50(√3-1)/(√3-1)=50
ODP
Ten prostokat to kwadrat o boku x=50cm


X, y to boki prostokąta 2x+2y=100 x+y=50 x=50-y P=xy+2x²√3/4+2y²√3/4 P=xy+x²√3/2+y²√3/2 P(y)=(50-y)y+(50-y)²√3/2+y²√3/2 P(y)=50y-y²+2500√3/2-100y√3/2+y²√3/2+y²√3/2, y∈(0,50) P(y)=-y²+y²√3-50y√3+50y+1250√3 Ramiona paraboli idą w górę ( bo

dla x=-b/2a
x=50(√3-1)/2(√3-1)=25

po prostu zamiast 2a wziął 1a


PODOBNE ZADANIA: